La legge di Hooke e forza elastica – Come si calcola la forza elastica? La legge di Hooke è quella formula attraverso cui è possibile calcolare la forza elastica. La legge di Hooke recita: La forza elastica è direttamente proporzionale alla deformazione e di verso opposto alla forza esterna che ha provocato questa deformazione.
- Quindi, la formula della forza elastica in base alla legge di Hooke è: F = -KΔ s dove K è la costante elastica e Δ s è la variazione di lunghezza o elongazione, che si misura in metri.
- Come calcolare la costante elastica? Da questa formula possiamo ricavare la formula inversa della forza elastica: K = F/Δ s L’ unità di misura della costante elastica sarà N/m, Newton al metro.
Valori elevati di K indicano che la molla è molto rigida. Più K diminuisce più è facile allungare o comprimere la molla.
Quando usare la legge di Hooke?
Condizione di molla ideale – Legge di Hooke – Così come già specificato parlando della forza elastica, la legge di Hooke vale per allungamenti della molla non eccessivi oltre i quali il corpo si deforma irreparabilmente, Ecco perché; in molte occasione si può approssimare il caso reale con quello di una molla ideale. Una molla ideale infatti possiede le seguenti caratteristiche:
la molla è priva di massa ; qualsiasi sia la forza applicata, la deformazione risulta proporzionale ad essa, anche per valori molto grandi; la molla torna sempre in condizioni di riposo.
Una molla ideale risponde perfettamente alla legge di Hooke, mentre una molla reale segue la legge di Hooke solo per la prima parte della curva che misura la forza in funzione dell’allungamento,
Che cosa è la costante elastica?
La forza elastica della molla La molla Le molle sono organi meccanici che, sotto l’azione di forze esterne, realizzano significative deformazioni elastiche, per torsione o per flessione, immagazzinando come energia potenziale elastica il lavoro compiuto da queste forze esterne.
- Una volta esaurita l’azione delle forze esterne le molle ritornano al loro assetto iniziale restituendo il lavoro di deformazione precedentemente immagazzinato.
- Qualsiasi corpo può essere, in misura maggiore o minore deformato.
- Se il corpo in questione può tornare spontaneamente alla sua conformazione iniziale si parla di corpo rigido elastico; se invece la deformazione è irreversibile, si parla di corpo rigido plastico.
La differenza tra corpi elastici e plastici è nota; ad es. la gomma da masticare è un corpo plastico, la gomma per cancellare è un corpo elastico. La forza che permette al corpo di tornare alla sua posizione di equilibrio iniziale (posizione di riposo) è la forza elastica; essa si manifesta sempre opponendosi alla deformazione imposta da una forza esterna tendendo a ripristinare la configurazione iniziale del corpo. 
La molla subirà un allungamento che verrà mantenuto fin tanto che sarà presente la forza esterna F → est, Per il terzo principio della dinamica, per il quale ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria, all’interno della molla viene ad instaurarsi una forza elastica F →, che, come si vede dal disegno risulta essere diretta in senso opposto all’allungamento x → e proporzionale a quest’ultimo.
- Proporzionale significa che se x raddoppia, F raddoppia; se x triplica, F diventa a sua volta il triplo del suo valore iniziale.
- La forza elastica della molla è dunque una forza di richiamo nel senso che se lo spostamento x va in una data direzione rispetto al punto di equilibrio (di riposo della molla) la forza elastica immagazzinata dalla molla è diretta in direzione opposta a tale spostamento.
Un fenomeno analogo avviene nel caso volessimo comprimere la molla applicando una forza F est esterna ad essa. 
Anche in questo caso la forza elastica della molla F → risulterà opposta in verso allo spostamento x → e proporzionale ad esso. Al cessare dell’azione della forza esterna F est la forza elastica F tenderà a riportare la molla nella sua posizione di riposo caratterizzata da un allungamento/accorciamento x=0.
La regola di proporzionalità tra la forza elastica e l’allungamento della molla è stato definito per via sperimentale da Hooke nel 1678 e viene formalizzata nella scrittura: Con questa forma vettoriale si intende che come intensità (modulo) la forza elastica vale F=kx, la direzione di F è la stessa dell’allungamento (o accorciamento) x, il verso della forza elastica F è opposto al verso dell’allungamento (accorciamento).
La costante k viene chiamata costante elastica ; essendo la forza misurata in Newton e gli allungamenti in metri la costante k ha come unità di misura Newton su metro. 
Il legame tra la forza e l’allungamento della molla è, dunque, di tipo lineare, cioè può essere rappresentato sul piano F-x da una linea retta inclinata sul piano F-x. Dal punto di vista geometrico la costante elastica k rappresenta il coefficiente angolare di tale retta, cioè il valore della tangente trigonometrica che la retta forma con l’asse x ( k=tgα ). 
Nota: l’energia potenziale per un recipiente idraulico di massa m deve essere perché si pensa di concentrare il peso mg nel baricentro all’altezza h/2. Molle in serie e molle in parallelo E’ possibile collegare due molle in serie di costanti elastiche k 1 e k 2 come indicato in figura
- Se consideriamo idealmente le due molle collegate come un’unica molla di costante k L’allungamento toltale sarà:
- ma come nel caso delle funi in trazione ciascun tratto delle due molle sarà interessato dalla forza F,
Il comportamento delle molle è simile alla capacità C dei condensatori in elettrotecnica : la costante elastica di una molla formata da due o più molle in serie è minore della minore tra le molle che la costituiscono. Nel caso delle due molle collegate in parallelo: l’allungamento rispettivo sarà identico x 1 =x 2 =x. Così sarà possibile scrivere:
- considerando idealmente le due molle in parallelo, una unica molla di costante k
- Energia potenziale elastica
Prima dell’invenzione di sistemi elettrici per la fornitura e l’accumulo dell’energia, la molla è stata per lungo tempo l’unico dispositivo in grado di immagazzinare e conservare energia, basti pensare agli orologi analogici (meccanici) dove l’energia per il funzionamento veniva accumulata e rilasciata grazie proprio ad un meccanismo a molla.
- Se volessimo effettuare una tale operazione su una semplice molla a torsione comprimendola, dobbiamo tener conto della forza esterna occorrente per la compressione F → est =kx →, stavolta senza il segno negativo perchè è una forza impressa dall’esterno uguale ed opposta alla forza elastica F della molla.
- Non basterebbe, in questo caso una semplice moltiplicazione L=F·x per calcolare il lavoro eseguito sulla molla, questo perchè durante il processo di compressione la forza F non rimane costante, occorre, in questo caso ricorrere all’analisi matematica.
- questa energia che dall’esterno abbiamo applicato alla molla diventa una energia potenziale elastica, disponibile per l’esecuzione di un futuro eventuale lavoro che la molla potrà eseguire sull’ambiente esterno.
- come si vede l’energia immagazzinata dalla molla corrisponde all’area sottesa alla curva di funzione F est =kx sul piano F est -x. trattandosi di un triangolo dobbiamo calcolarne l’area (base per altezza diviso 2):
Gli allungamenti precedenti. sono considerati, per brevità e semplicità di calcolo, riferiti alla posizione di riposo x=0. Questo fatto, in generale può non sussistere, è dunque opportuno correggere la formula precedente come:
- x i =posizione iniziale x f =posizione finale
- Quella appena ottenuta è la formula che esprime il lavoro della forza esterna F est sulla molla, Essendo tale forza opposta alla forza elastica F della molla, il lavoro effettuato dalla molla sull’ambiente esterno è
- Che coincide con la variazione dell’energia potenziale della molla. Il lavoro compiuto dalla forza elastica è dunque
- L’importanza della molla come dispositivo fisico sta proprio nel fatto che essa è in grado di accumulare energia potenziale che poi, può trasformarsi in energia cinetica, gradualmente o impulsivamente nel totale rispetto del principio di conservazione dell’energia ΔU=ΔK.
- Molle a lamina
- Sono molle prismatiche ad un solo elemento,come disegnato in figura
- sono incastrate ad un estremo mentre vengono caricate nell’estremo libero. Conoscendo il carico di sicurezza a flessione e le dimensioni della molla ( l =lunghezza,b =larghezza, h =spessore ) si può determinare il carico F applicando l’equazione di stabilità a flessione:
- con
- con σ= carico unitario di sicurezza a flessione, mentre il modulo di resistenza di flessione per una sezione rettangolare vale
- sostituendo si ha
- All’estremo libero si genera una deformazione ( freccia ) di valore
- se la sezione è rettangolare il momento di inerzia è
E= modulo di elasticità aflessione per gli acciai E=200.000÷210.000 N/mm 2,
- Il lavoro di deformazione è
- in questo caso l’allungamento x può essere identificato con la freccia f
- sostituendo
- dove V è il volume della molla prismatica.
- Molle a balestra
- Le molle a balestra sono le tipiche molle dei veicoli, costituite da uno strato di foglie metalliche sovrapposte, tenute insieme da una staffa centrale.
- La foglia più lunga costituisce la foglia maestra e alle sue estremità forgiate ad occhio viene applicato il carico. Normalmente per questo tipo di molla si usano le seguenti equazioni:
- h =spessore della foglia b =larghezza della foglia f =freccia massima z =numero delle foglie
- Molle a torsione
In questo tipo di molla la sollecitazione principale è dovuta ad un momento torcente. Il tipo più comune è la molla elicoidale a sezione circolare.
- Sotto l’azione del carico F la molla si comprime ed il filo è sollecitato a torsione da un momento torcente
- dove con R si indica il raggio medio della molla.Dall’equazione di stabilità a torsione si ha
- nell’effettivo dimensionamento e verifica di una molla elicoidale interviene un fattore di correzione, si usa infatti τ max, con
- ψ =oefficiente di Wahl R =raggio dell’elica d =diametro del filo
- questo perché deve essere tenuto conto della curvatura delle spire ed altri parametri. Il dimensionamento e la verifica avviene dunque con la
- il legame tra la freccia ed il numero delle spire può essere espresso dalla:
con G=modulo di elasticità a torsione :mediamente 80.000÷90.000 N/mm 2, : La forza elastica della molla
Come si calcola la legge di Hooke?
La forza elastica della legge di Hooke – L’esperimento parla della forza elastica di una molla basata sulla legge di Hooke che si basa su questa formula F=-kx (k rappresenta la costante elastica della molla). I materiali che ci servono sono una molla elicoidale, un’asta di sostegno, un’asta graduata e delle masse calibrate.
Per iniziare l’esperimento bisogna sistemare l’indice superiore accanto all’estremità inferiore della molla e si fa la stessa cosa con l’indice inferiore quindi la posizione è 0 che è (57,1 ± 0,1)cm. Per aumentare il carico si appenderanno le masse calibrate all’estremità libera. Adesso si appendono i primi 50 g.
Quando la molla smette di oscillare, si sposta l’indice inferiore all’estremità più bassa della molla, adesso si annota la nuova posizione (55,11 cm), poi si aggiungono altri 50 g e annotiamo la nuova posizione (53,3 cm). Ora si continua ad aggiungere i 50 g e annotare ogni volta la nuova posizione, (51,4 cm) (49,5 cm) (47,5 cm) (45,5 cm).
In un dato luogo la Fp che agisce su un corpo di massa m è direttamente proporzionale a m cioè con Fp=mg la sua unità di misura è il N la massa espressa in Kg è la costante di proporzionalità g, vale a livello del mare 9,8 N/ kg applicando una massa all’estremità della molla questa si allunga fino a quando Fp è bilanciata dalla forza elastica (Fe) queste due forze hanno uguale direzione ma verso opposto.
Quando la Fp aumenta, la molla risponde ancora con una Fe uguale e contraria per ogni massa aggiunta, abbiamo calcolato la Fp in N trasformandola la massa in kg e moltiplicandola per la costante di proporzionalità g, poi abbiamo calcolato l’allungamento ΔL determinando la differenza in valore assoluto tra la lunghezza della molla sotto un certo carico e la lunghezza iniziale della molla scarica.
Infine abbiamo calcolato la costante elastica K dividendo la Fp per l’allungamento e ne abbiamo determinato anche il valore medio con la sua incertezza. I singoli valori di k non si discostano molto l’uno dall’altro l’incertezza sul valore medio è piccola. La molla ha risposto con lo stesso allungamento a ogni forza aggiunta e quindi non ha perso la sua elasticità togliendo i pesi dovrebbe tornare esattamente alla lunghezza iniziale.
Infatti, la molla torna proprio alla sua posizione iniziale 57,1 cm. In poche parole abbiamo capito dato che i risultati sono abbastanza simili, significa che la legge di Hook è valida.
Qual è la formula dell allungamento?
Forza elastica e geometria analitica Quando due grandezze fisiche sono tali per cui i punti associati alle loro misure giacciono su una retta passante per l’origine, diciamo che queste due grandezze fisiche sono direttamente proporzionali, Nel caso del nostro esempio, l’allungamento di una molla x e la forza applicata F sono due grandezze direttamente proporzionali: F = k · x.
- Il contenuto di questa relazione matematica esistente tra la forza e l’allungamento va anche sotto il nome di legge di Hooke,
- La costante di proporzionalità k prende il nome di costante elastica della molla.
- Dividendo per l’allungamento x entrambi i membri dell’uguaglianza F = k · x otteniamo che k = F / x da cui l’unità di misura di k nel Sistema Internazionale è il newton su metro (N / m).
Da questa relazione possiamo anche derivare una caratterizzazione interessante delle grandezze direttamente proporzionali: Due grandezze sono direttamente proporzionali quando il loro rapporto risulta essere uguale a una costante. In altre parole, cambiando la forza applicata alla molla cambia l’allungamento ma siamo certi che, se dividiamo la forza per l’allungamento, otteniamo un numero fisso che dipende solo dalle caratteristiche costitutive della molla.
- Di conseguenza se raddoppiamo la forza applicata raddoppierà anche l’allungamento prodotto, se triplichiamo la forza applicata triplicherà anche l’allungamento e così via.
- Queste considerazioni sono valide fino a un certo valore massimo della forza applicata alla molla.
- Ogni molla infatti può sopportare un carico massimo,
Quando aumentiamo ulteriormente il carico verranno indotte delle deformazioni permanenti nella molla che perderà di conseguenza le sue caratteristiche elastiche. In questo regime la forza e l’allungamento non sono più direttamente proporzionali. Per ricavare l’allungamento x in funzione della forza F e della costante k dovremo dividere entrambi i membri della legge di Hooke F = k · x per k.
- In questo modo x = F / k.
- Siccome k compare al denominatore avremo che, a parità di forza applicata, una molla caratterizzata da una costante elastica k molto alta ( molla rigida ) si allungherà di poco, una molla caratterizzata da una costante elastica k molto piccola si allungherà di molto ( molla elastica ).
Ad esempio, se fissiamo come forza applicata alla molla F = 0.5 N, avremo che a una costante elastica k = 60 N / m corrisponde un allungamento x = 0.5 / 60 m = 8 · 10 -3 m = 0.008 m. Se invece la costante elastica diventa un decimo della precedente, ossia k = 6 N / m, avremo un allungamento dieci volte maggiore: x = 0.5 / 6 m = 0.08 m.
- Concludiamo questa sezione con alcune considerazioni sulla misura indiretta di k,
- Siccome k = F / x, per misurare k possiamo fare varie misure della forza F e dell’allungamento prodotto x.
- La migliore stima per la costante di elasticità della molla è il delle misure, l’errore assoluto associato è invece la delle misure.
: Forza elastica e geometria analitica